Question

9．如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，點P為AB邊上一動點，DP交AC于點Q．
（1）求證：△APQ∽△CDQ；
（2）若DP⊥AC，求AP的長．

Answer 1

分析 （1）根據矩形的性質可得CD∥AB，根據平行線的性質可得∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，進而可得判定△APQ∽△CDQ；
（2）首先證明△ADQ∽△ACD，根據相似三角形的性質可得 $\frac{AD}{AC}$=$\frac{AQ}{AD}$，然后計算出AC長，進而可得AQ長，再證明△AQP∽△ABC，可得 $\frac{AQ}{AP}$=$\frac{AB}{AC}$，由此解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，
∴△APQ∽△CDQ；

（2）解：∵∠ADC=90°，DP⊥AC，
∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90°，
∵∠DAQ=∠CAD，
∴△ADQ∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AQ}{AD}$，
∵AC=$\sqrt{1{0}^{2}+2{0}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，
則AQ=$\frac{A{D}^{2}}{AC}$═2 $\sqrt{5}$，
∵∠AQP=∠ABC=90°，∠QAP=∠BAC，
∴△AQP∽△ABC，
∴$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{AB}{AC}$，
則 $\frac{2\sqrt{5}}{AP}$=$\frac{20}{10\sqrt{5}}$，
解得：AP=5，

點評 此題主要考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，關鍵是掌握有兩個角對應相等的三角形相似，靈活運用相似三角形的性質解決問題．