Question

19．如圖，在平面直角坐標系中，點B坐標為（1，-1），點C坐標為（4，0），以BC為邊在BC的上方作一個正方形ABCD，點A在y軸上，過點A，B，C作一條拋物線．
（1）在線段BC下方的拋物線上是否存在點P，使S_△BCP的面積最大？若不存在，說明理由；若存在，直接寫出點P坐標．
（2）把拋物線向上平移m（m＞0）個單位，使得拋物線始終與正方形ABCD的邊有4個交點，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構建全等三角形，如圖1，證明△AEB≌△BFC，得出點A的坐標，利用待定系數法求拋物線和BC的解析式，因為點P在拋物線上，所以設P（m，$\frac{5}{6}$m²-$\frac{23}{6}$m+2），則H（m，$\frac{1}{3}$m-$\frac{4}{3}$），表示出PH的長，根據三角形面積=鉛直高度×水平寬度，代入可表示出面積，利用配方法求最值，并計算點P的坐標；
（2）設平移后的拋物線的解析式為：y=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{23}{6}$x+2+m，作出三個點到四個交點的界限，如圖3，當平移后的拋物線與BC有一個交點時，此時與正方形有三個交點，列方程組計算△=0，此時m=$\frac{15}{8}$，觀察圖形發現當拋物線開始位置時與正方形也有三個交點，向上平移則開始有四個交點，由此寫出m的取值．

解答 解：（1）如圖1，過B作BE⊥y軸于E，過C作CF⊥BE于F，
則∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∵點B坐標為（1，-1），點C坐標為（4，0），
∴BE=1，FC=OE=1，BF=4-1=3，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
∴△AEB≌△BFC，
∴AE=BF=3，
∴OA=AE-OE=3-1=2，
∴A（0，2），
設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，
把B（1，-1），C（4，0），A（0，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=-1}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{6}}\\{b=-\frac{23}{6}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{23}{6}$x+2，
如圖2，過P作PG⊥x軸于G，交BC于H，
設直線BC的解析式為：y=kx+b，
把B（1，-1），C（4，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-1}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$，
設P（m，$\frac{5}{6}$m²-$\frac{23}{6}$m+2），則H（m，$\frac{1}{3}$m-$\frac{4}{3}$），
∴PH=（-$\frac{5}{6}$m²+$\frac{23}{6}$m-2）-（$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{3}m$）=-$\frac{5}{6}{m}^{2}+\frac{25}{6}m-\frac{10}{3}$，
∴S_△BPC=$\frac{1}{2}$PH•BF=$\frac{1}{2}$（-$\frac{5}{6}{m}^{2}+\frac{25}{6}m-\frac{10}{3}$）×3=-$\frac{5}{4}{m}^{2}+\frac{25}{4}m-5$=-$\frac{5}{4}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{45}{16}$，
∵1＜m＜4，
∴當m=$\frac{5}{2}$時，S有最大值，
$\frac{5}{6}$m²-$\frac{23}{6}$m+2=$\frac{5}{6}$×$\frac{25}{4}$-$\frac{23}{6}$×$\frac{5}{2}$+2=-$\frac{19}{8}$，
∴當S_△BCP的面積最大時，點P坐標為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{19}{8}$）；
（2）設平移后的拋物線的解析式為：y=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{23}{6}$x+2+m，
如圖3，當平移后的拋物線與BC有一個交點時，此時與正方形有三個交點，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}}\\{y=\frac{5}{6}{x}^{2}-\frac{23}{6}x+2+m}\end{array}\right.$，
∴$\frac{5}{6}$${m}^{2}-\frac{23}{6}m+2+m=\frac{1}{3}m-\frac{4}{3}$，
5x²-25x+20+6m=0，
△=（-25）²-4×5×（20+6m）=0，
m=$\frac{15}{8}$，
∴m的取值范圍是0＜m＜$\frac{15}{8}$．

點評 本題考查了利用待定系數法求拋物線和一次函數的解析式、二次函數圖象的平移問題、最值及正方形的性質，明確平移原則：上→加，下→減，知道求二次函數的最值有兩種方法：①配方成頂點式，寫出最值，②代入頂點坐標（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）；本題第2問有難度，是考查了函數與直線的交點問題，利用數形結合的方法解決比較簡便．