Question

16．如圖是第七屆國際數學教育大會的會徽示意圖，主題圖案是由一連串如圖所示的直角三角形演化而成的．其中的第一個三角形OA₁A₂是等腰直角三角形，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃…=A₈A₉=1．
（1）根據圖示，求出OA₂的長為$\sqrt{2}$；OA₄的長為2；OA₆的長為$\sqrt{6}$．
（2）如果按此演變方式一直連續作圖到△OA_n-1A_n，則線段OA_n的長和△OA_n-1A_n的面積分別是多少？（用含n的代數式表示）
（3）若分別用S₁，S₂，S₃…S₁₀₀表示△OA₁A₂，△OA₂A₃，△OA₃A₄…△OA₉₉A₁₀₀的面積，試求出S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀₀²的值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理依次計算即可；
（2）依據（1）的計算找出其中的規律可得到OA_n的長，然后依據計算出前幾個三角形的面積，然后依據規律解答求得△OA_n-1A_n的面積即可；
（3）首先依據題意列出算式，然后再求解即可．

解答 解：（1）OA₂=$\sqrt{O{{A}_{1}}^{2}+{A}_{1}{{A}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{2}$，OA₃=$\sqrt{O{{A}_{2}}^{2}+{A}_{2}{{A}_{3}}^{2}}$=$\sqrt{3}$，OA₄=$\sqrt{O{{A}_{3}}^{2}+{A}_{3}{{A}_{4}}^{2}}$=$\sqrt{4}$=2，
…
OA₆=$\sqrt{6}$
故答案為：$\sqrt{2}$；2；$\sqrt{6}$．
（2）由（1）可知：OA_n=$\sqrt{n}$．
S₁=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；
S₂=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
S₃=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
…
△OA_n-1A_n的面積=$\frac{\sqrt{n-1}}{2}$．
（3）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀₀²=（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+…+（$\frac{\sqrt{100}}{2}$）²=$\frac{1+2+3+…+100}{4}$=1262.5．

點評 此題主要考查的是等腰直角三角形的性質以及勾股定理的運用和利用規律的探查解決問題，找出其中的規律是解題的關鍵．