Question

4．閱讀下列材料，并解決后面的問題．
材料：一般地，n個相同的因數a相乘：$\underset{\underbrace{a•a…a}}{n個}$記為aⁿ．如2³=8，此時，3叫做以2為底8的對數，記為log₂8（即log₂8=3）．一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數，記為log_ab（即log_ab=n），如3⁴=81，則4叫做以3為底81的對數，記為log₃81（即log₃81=4）．
問題：（1）計算以下各對數的值：log₂4=2；log₂16=4；log₂64=6．
（2）觀察（1）中三數4、16、64之間滿足怎樣的關系式，然后利用4、16、64之間的數量關系猜想log₂4、log₂16、log₂64之間又滿足怎樣的關系式？答：log₂4、log₂16、log₂64關系式為log₂4+log₂16=log₂64．
（3）由（2）的結果，請你能歸納出：log_aM+log_aN=log_aM+log_aN=log_aMN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．

Answer 1

分析 （1）根據對數的定義求解；
（2）認真觀察，不難找到規律：4×16=64，log₂4+log₂16=log₂64；
（3）首先可設log_aM=b₁，log_aN=b₂，再根據冪的運算法則：aⁿ•a^m=a^n+m以及對數的含義，得出結論：log_aM+log_aN=log_aMN．

解答 解：（1）∵2²=4，2⁴=16，2⁶=64，
∴log₂4=2；log₂16=4；log₂64=6，
故答案為：2，4，6；

（2）由（1）知，∵2+4=6，
∴log₂4+log₂16=log₂64=log₂（4×16），
故答案為：log₂4+log₂16=log₂64；

（3）設log_aM=x，log_aN=y，
則a^x=M，a^y=N，
∴MN=a^x•a^y=a^x+y，
∴x+y=log_aMN，即log_aM+log_aN=log_aMN
故答案為：log_aM+log_aN=log_aMN．

點評 此題主要考查了數字的變化規律．借考查對數，實際考查學生對指數的理解、掌握的程度；要求學生不但能靈活、準確的應用其運算法則，還要會類比、歸納，推測出對數應有的性質．