Question

4．已知：拋物線C₁的頂點坐標為（2，1），且經過（1，0）．把C₁先向左平移2個單位，再向上平移8個單位得到拋物線C₂．
（1）求拋物線C₂的函數解析式；
（2）設拋物線C₂交x軸于M，N兩點（點M在點N的左側），第一象限有一點A，以AM為直徑的圓經過點N，且∠MAN=45°，點P（a，b）為拋物線C₂在第二象限上的一個動點，求△AMP面積的最大值；
（3）若點P（a，b）為拋物線C₂在x軸上方部分圖象上的一個動點，當∠MPN≥45°時，求出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可先求得C₁的解析式，再進行平移可求得C₂的解析式；
（2）由圓周角定理可先求得A點坐標，可求得直線AM的解析式，過P作PE⊥x軸，交直線AM于點E，則可用a表示出PE的長度，可表示出△AMP的面積，再利用二次函數的性質可求得其最大值；
（3）設直線AM交y軸于點H，則H為AM的中點，則當點P在以AM為直徑的圓內或圓上時滿足∠MPN≥45°，結合圖象可求得圓與拋物線的交點坐標，則可求得a的取值范圍．

解答 解：
（1）∵拋物線C₁的頂點坐標為（2，1），
∴設拋物線C₁的解析式為y=a（x-2）²+1，
∵經過（1，0），
∴0=a×（1-2）²+1，解得a=-1，
∴設拋物線C₁的解析式為y=-（x-2）²+1，
∵把C₁先向左平移2個單位，再向上平移8個單位得到拋物線C₂，
∴拋物線C₂的解析式為y=-x²+9；
（2）在y=-x²+9中，令y=0可得：-x²+9=0，解得x=3或x=-3，
∴M（-3，0），N（3，0），
∵AM為直徑，
∴∠MNA=90°，
∴AN⊥MN，
∵∠MAN=45°，
∴AN=MN=3-（-3）=6，
∴A（3，6），
∴直線AM解析式為y=x+3，
如圖1，過P作PE⊥x軸，交AM于點E，

∵P在拋物線上，
∴P（a，-a²+9），則E（a，a+3），
∵P在第二象限，
∴PE=-a²+9-（a+3）=-a²-a+6=-（a+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴S_△AMP=$\frac{1}{2}$PE•[3-（-3）]=3×[-（a+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{4}$]=-3（a+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{75}{4}$，
∴當a=-$\frac{1}{2}$時，△AMP的面積最大，最大值為$\frac{75}{4}$；
（3）在（2）中，可知當點P在以AM為直徑的圓上時，∠MAN=∠MPN=45°，如圖2，
則當點P在圓內時有∠MPN≥45°，

∵M（-3，0），A（3，6），
∴AM的中點為（0，3），即圓心坐標為（0，3），
當點P在圓上時，滿足點P到圓心的距離等于半徑，
∴a²+（-a²+9-3）²=3²+3²，解得a²=9（舍去）或a²=2，
解得a=$\sqrt{2}$或a=-$\sqrt{2}$，
∴當∠MPN≥45°時，求出a的取值范圍為-3＜a≤-$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$≤a＜3．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、圖象的平移、二次函數的性質及圓周角定理等知識點．在（1）中先求得拋物線C₁的解析式是解題的關鍵，在（2）中表示出PE的長度是解題的關鍵，在（3）中確定出P點的位置是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．