Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x與直線l₂：y=-x+6交于點A，l₂與x軸交于B，與y軸交于點C．
（1）求△OAC的面積；
（2）如點M在直線l₂上，且使得△OAM的面積是△OAC面積的$\frac{3}{4}$，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）先根據直線解析式，求得C（0，6），再根據方程組的解，得出A（4，2），進而得到△OAC的面積；
（2）分兩種情況進行討論：①點M₁在射線AC上，②點M₂在射線AB上，分別根據點M的橫坐標，求得其縱坐標即可．

解答 解：（1）在y=-x+6中，令x=0，解得y=6，
∴C（0，6），即CO=6，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴A（4，2），
∴S_△OAC=$\frac{1}{2}$×6×4=12；

（2）分兩種情況：
①如圖所示，當點M₁在射線AC上時，過M₁作M₁D⊥CO于D，則△CDM₁是等腰直角三角形，
∵A（4，2），C（0，6），
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵△OAM的面積是△OAC面積的$\frac{3}{4}$，
∴AM₁=$\frac{3}{4}$AC=3$\sqrt{2}$，
∴CM₁=$\sqrt{3}$，
∴DM₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，即點M₁的橫坐標為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在直線y=-x+6中，當x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，y=6-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴M₁（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，6-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）；

②如圖所示，當點M₂在射線AB上時，過M₂作M₂E⊥CO于E，則△CEM₂是等腰直角三角形，
由題可得，AM₂=AM₁=3$\sqrt{2}$，
∴CM₂=7$\sqrt{3}$，
∴EM₂=$\frac{7}{2}\sqrt{6}$，即點M₂的橫坐標為$\frac{7}{2}\sqrt{6}$，
在直線y=-x+6中，當x=$\frac{7}{2}\sqrt{6}$時，y=6-$\frac{7}{2}\sqrt{6}$，
∴M₂（$\frac{7}{2}\sqrt{6}$，6-$\frac{7}{2}\sqrt{6}$）．
綜上所述，點M的坐標為（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，6-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）或（$\frac{7}{2}\sqrt{6}$，6-$\frac{7}{2}\sqrt{6}$）．

點評 本題主要考查了兩直線相交的問題，解決問題的關鍵是掌握兩直線交點的坐標的計算方法，解題時注意：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數表達式所組成的二元一次方程組的解．