Question

10．如圖所示，在△ABC中，BC邊的垂直平分線DF交△BAC的外角平分線AD于點D，F為垂足，DE⊥AB于E，并且AB＞AC．求證：BE-AC=AE．

Answer 1

分析 過點D作DG⊥CA交CA的延長線于點G，連接DC，DB，根據垂直平分線和角平分線的性質可先證明Rt△CDG≌Rt△BDE，再證明△ADG≌△ADE，再利用線段的和差可證得結論．

解答 證明：
如圖所示，過點D作DG⊥CA交CA的延長線于點G，連接DC，DB．
∵AD是△ABC的外角平分線，DE⊥AB，DG⊥CA，
∴DE=DG．
∵DF垂直平分BC，
∴DC=DB，
在Rt△CDG與Rt△BDE中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{DC=DB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDG≌Rt△BDE（HL），
∴CG=BE．
∵∠GAD=∠EAD，∠AGD=∠AED，AD=AD，
∴在△ADG與△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAD=∠EAD}\\{∠AGD=∠AED}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ADE（AAS），
∴AG=AE，
∴CG=AE+AC，
∴BE=AE+AC，
∴BE-AC=AE．

點評 本題主考查了全等三角形的性質和判定、線段的垂直平分線定理和角平分線性質等知識點，添加適當的輔助線，利用中垂線的性質構造三角形全等是解題的關鍵．