Question

15．如圖，AB是圓O之間，C是圓O上一點，過C作CD⊥AB于D，EC與圓O相切于C且CE=CD．
（1）求證：AC平分∠ECD；
（2）過E作EG⊥AB于G交AC于F，若 AC=4，AO=$\sqrt{5}$，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接BC，由AB是圓O的直徑，得到∠ACB=90°，推出∠ACD=∠B，由EC與圓O相切于C，得到∠B=∠ECA，等量代換即可得到結論．
（2）連接AE，OC，BC，得到∠ACB=90°，根據勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2，根據三角形的面積得到CD=$\frac{AC•CB}{AB}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）連接BC，
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵EC與圓O相切于C，
∴∠B=∠ECA，
∴∠ECA=∠ACD，
∴AC平分∠ECD；

（2）連接AE，OC，BC，
則∠ACB=90°，
∵AC=4，AO=$\sqrt{5}$，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2，
∴CD=$\frac{AC•CB}{AB}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵CE=CD，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CE}{CB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵∠ACE=∠B，
∴△ACE∽△ACB，
∴∠AEC=∠ACB=90°，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．