Question

16．已知：∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分別為D，E，
（1）如圖1，
①線段CD和BE的數量關系是CD=BE；
②請寫出線段AD，BE，DE之間的數量關系并證明．
（2）如圖2，上述結論②還成立嗎？如果不成立，請直接寫出線段AD，BE，DE之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）①結論：CD=BE．②結論：AD=BE+DE，只要證明△ACD≌△CBE，即可解決問題．
（2）結論不成立．結論：DE=AD+BE．證明方法類似（1）．

解答 解：（1）①結論：CD=BE．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠B，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠B}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE，
∴CD=BE．
②結論：AD=BE+DE．
理由：∵△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∵CE=CD+DE=BE+DE，
∴AD=BE+DE．

（2）②中的結論不成立．結論：DE=AD+BE．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠B，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠B}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CD+CE=BE+AD，
∴DE=AD+BE．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等角的余角相等等知識，解題的關鍵是學會證明角相等的方法，熟練掌握全等三角形的判定和性質，屬于中考常考題型．