Question

5．如圖，矩形ABCD中，AB=5，BC=3，點E、F分別在邊AB，CD上，連接EF，將∠BEF對折，點B落在直線EF上的點B′處，得折痕EM；將∠AEF對折，點A落在直線EF上的點A′處，得折痕EN，當M，N分別在邊BC，AD上時，若令AN的長度為y，AE的長度為x，則y關于x的函數解析式是y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x．

Answer 1

分析 由折疊的性質得：∠AEN=∠A'EN，∠BEC=∠B'EC，證出∠CEN=90°，得出∠AEN+∠BEC=90°，由矩形的性質得出∠A=∠B=90°，由直角三角形的性質得出∠AEN+∠ANE=90°，證出∠ANE=∠BEC，得出△AEN∽△BCE，由相似三角形的對應邊成比例即可得出結果．

解答 解：由折疊的性質得：∠AEN=∠A'EN，∠BEC=∠B'EC，
∵∠AEB=180°，
∴∠CEN=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠AEN+∠BEC=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AEN+∠ANE=90°，
∴∠ANE=∠BEC，
∴△AEN∽△BCE，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AN}{BE}$，即$\frac{x}{3}=\frac{y}{5-x}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x；
故答案為：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x．

點評 本題考查了矩形的性質、折疊的性質、直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質；熟練掌握折疊的性質和矩形的性質，證明三角形相似是解決問題的關鍵．