Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC中點，DE⊥AB于E，若AE=2$\sqrt{5}$，BC=5，則BE=3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設BE=a，由邊與邊之間的關系結合勾股定理即可得出AB、AC和AD的值，根據垂直的定義即可得出∠AED=∠C結合相等的公共角∠A=∠A，即可證出△AED∽△ACB，根據相似三角形的性質即可得出$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$，代入數據即可得出關于a的一元二次方程，解方程即可得出結論．

解答 解：設BE=a，則AB=2$\sqrt{5}$+a，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+4\sqrt{5}a-5}$，
∵D是AC中點，
∴AD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+4\sqrt{5}a-5}$．
∵DE⊥AB于E，∠C=90°，
∴∠AED=∠C．
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AE•AB=AD•AC，即2$\sqrt{5}$（2$\sqrt{5}$+a）=$\frac{1}{2}$（a²+4$\sqrt{5}$a-5），
解得：a=3$\sqrt{5}$或a=-3$\sqrt{5}$（舍去）．
故答案為：3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理以及解一元二次方程，根據相似三角形的判定定理證出△AED∽△ACB是解題的關鍵．