Question

5．如圖，AB為⊙O的直徑，點C為圓外一點，連接AC、BC，分別與⊙O相交于點D、點E，且$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，過點D作DF⊥BC于點F，連接BD、DE、AE．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）試判斷△DEC的形狀，并說明理由；
（3）若⊙O的半徑為5，AC=12，求sin∠EAB的值．

Answer 1

分析 （1）連接半徑OD，先證明△ABD≌△CBD，得AD=CD，根據OD是中位線得：OD∥BC，所以DF⊥OD，DF是⊙O的切線；
（2）由弧相等得所對的弦相等：$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，則AD=DE，由（1）中的：AD=CD，得△DEC是等腰三角形，
（3）設BE=x，則CE=10-x，利用勾股定理列方程可得結論．

解答 證明：（1）連接OD，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴AD=CD，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥BC，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切線；
（2）△DEC是等腰三角形，理由是：
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，
∴AD=DE，
∵AD=CD，
∴CD=DE，
∴△DEC是等腰三角形；
（3）∵⊙O的半徑為5，
∴BC=AB=10，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
設BE=x，則CE=10-x，
由勾股定理得：12²-（10-x）²=10²-x²，
解得：x=$\frac{14}{5}$，
∴BE=$\frac{14}{5}$，
在Rt△AEB中，sin∠EAB=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\frac{14}{5}}{10}$=$\frac{7}{25}$．

點評 本題是圓的綜合題，難度適中，屬于常考題型；考查了圓的切線的判定、勾股定理、圓周角定理、弧與弦與圓周角的關系、等腰三角形的性質和判定、三角形的中位線定理等知識，本題運用的知識較多，熟練掌握切線的判定是關鍵：①有垂直，證半徑；②連半徑，證垂直．