Question

19．如圖，AB，AC為⊙O的弦，AB=AC，連接AO．
（1）如圖l，求證：∠OAC=∠OAB；
（2）如圖2，過點B作AC的垂線交⊙O于點D，連接CD，設AO的延長線交BD于點E，求證：BE=CD；
（3）在（2）的條件下，如圖3，點F，G分別在CD，BD的延長線上，連接AG，AF，若CF×AG=8，∠GAB=45°+$\frac{1}{2}$∠GAE，∠B=50°，求△ACF的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OC、OB．只要證明△AOC≌△AOB即可．
（2）如圖2中，連接EC．首先證明△EAC≌△EAB，推出EC=EB，∠ACE=∠B，再證明∠CDE=∠CED，推出CD=CE即可解決問題．
（3）連接AD，作AN⊥EC于N，AC與BD交于點M．設∠GAD=x．只要證明∠GAM=30°，在Rt△AGM中．AM=AN=AG•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG，根據S_△ACF=$\frac{1}{2}$•CF•AN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•CF•AG，即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OC、OB．

在△AOC和△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{OC=OB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△AOB，
∴∠CAO=∠BAO．

（2）證明：如圖2中，連接EC．

在△AEC和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠EAC=∠EAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△EAB，
∴EC=EB，∠ACE=∠B，
∵∠B=∠DCA，
∴∠DCA=∠ACE，
∵BD⊥AC，
∴∠CDE+∠DCA=90°，∠CED+∠ACE=90°，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE=EB．

（3）解：如圖3中，連接AD，作AN⊥EC于N，AC與BD交于點M．設∠GAD=x．

∵∠B=50°，∠AMB=90°，
∴∠MAB=40°，
∴∠EAM=∠EAB=20°
∴∠CDM=∠CAB=40°，
∵CD=EC，AC⊥DE，
∴DM=ME，
∴AD=AE，
∴∠MAD=∠MAE=20°，
∴∠DAB=60°，
∴∠ADB=180°-∠DAB-∠B=70°，
∴∠ADN=180°-∠CDM=70°，
∴∠ADN=∠ADM，
∵AN⊥DF，AM⊥DB，
∴AN=AM，
∵∠GAB=45°+$\frac{1}{2}$∠GAE，
∴x+60°=45°+$\frac{1}{2}$（x+40°），
∴x=10°，
∴∠GAM=30°，
在Rt△AGM中．AM=AN=AG•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$•CF•AN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•CF•AG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質、角平分線的性質定理、一元一次方程等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數構建方程，本題體現了數形結合的思想，本題的突破點是證明∠GAM=30°，屬于中考壓軸題．