Question

7．如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于點C，BD平分∠ABF，且交AE于點D，AC與BD相交于點O，連接CD．
（1）求∠AOD的度數；
（2）求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）首先根據角平分線的性質得到∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，然后根據平行線的性質得到∠DAB+∠CBA=180°，從而得到∠BAC+∠ABD=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠ABC）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，得到答案∠AOD=90°；
（2）根據平行線的性質得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根據角平分線定義得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根據等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根據平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出答案．

解答 解：（1）∵AC、BD分別是∠BAD、∠ABC的平分線，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∵AE∥BF，
∴∠DAB+∠CBA，=180°，
∴∠BAC+∠ABD=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠ABC）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠AOD=90°；

（2）證明：∵AE∥BF，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，
∵AC、BD分別是∠BAD、∠ABC的平分線，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，
∴AB=BC，AB=AD
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AD=AB，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評 本題考查了等腰三角形的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定的應用，能得出四邊形ABCD是平行四邊形是解此題的關鍵．