Question

12．已知x，y是實數，且4x²-5xy+4y²=5，求x²+y²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由已知等式知5xy=4x²+4y²-5，結合2xy≤x²+y²知5xy=4x²+4y²-5≤$\frac{5}{2}$（x²+y²），即可得x²+y²的最大值；由x²+y²≥-2xy知5xy=4x²+4y²-5≥-8xy-5，從而得xy≥$\frac{5}{13}$，即可由x²+y²≥-2xy≥$\frac{10}{13}$得出x²+y²的最小值．

解答 解：∵4x²-5xy+4y²=5，
∴5xy=4x²+4y²-5，
又∵2xy≤x²+y²，
∴5xy=4x²+4y²-5≤$\frac{5}{2}$（x²+y²），
設S=x²+y²，
4s-5≤$\frac{5}{2}$s，
∴s≤$\frac{10}{3}$即S_max=$\frac{10}{3}$，
∵x²+y²≥-2xy，
∴5xy=4x²+4y²-5≥-8xy-5，
∴xy≤-$\frac{5}{13}$，
∴-xy≥$\frac{5}{13}$，
∴S=x²+y²≥-2xy≥$\frac{10}{13}$，
∴S_min=$\frac{10}{13}$．

點評 本題主要考查配方法的應用，由已知等式結合2xy≤x²+y²、x²+y²≥-2xy得出x²+y²的范圍是解題的關鍵．