Question

11．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圓O的直徑DE=12cm，點E與點C重合，半圓O以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在BC所在的直線上．設運動時間為x（s），半圓O在△ABC的重疊部分的面積為S（cm²）．
（1）當x=6（s）時，點O與線段BC的中點重合；
（2）在（1）的條件下，求半圓O與△ABC的重疊部分的面積S；
（3）當x為何值時，半圓O所在的圓與△ABC的邊所在的直線相切？

Answer 1

分析 （1）根據時間=路程÷速度，即可解決問題．
（2）如圖1中，設⊙O與AB交于點H，連接OH，CH．首先證明△CHB是等腰直角三角形，根據S=S_扇形OHC+S_△OHB計算即可．
（3）分兩種情形討論即可①⊙O與直線AC相切．②⊙O與直線AB相切，分別求出時間即可．

解答 解：（1）如圖1中，當點O在AB的中點時，x=$\frac{12}{2}$=6s．

故答案為6s．

（2）如圖1中，設⊙O與AB交于點H，連接OH，CH．
∵BC是直徑，
∴∠CHB=90°，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠HBC=∠HCB=45°，
∴HC=HB，
∴OH⊥BC，OH=OB=OC=6，
∴S=S_扇形OHC+S_△OHB=$\frac{1}{4}$•π•6²+$\frac{1}{2}$•6•6=18+9π．

（3）如圖2中，當⊙O與AB相切時（點O在點B左側），易知OH=BH=6，OB=6$\sqrt{2}$，OC=12-6$\sqrt{2}$，
∴x=$\frac{6+12-6\sqrt{2}}{2}$=9-3$\sqrt{2}$．

如圖3中，當⊙O與AB相切時（點O在點B右側），易知OH=BH=6，OB=6$\sqrt{2}$，OC=12+6$\sqrt{2}$，
∴x=$\frac{6+12+6\sqrt{2}}{2}$=9+3$\sqrt{2}$．


如圖1中，x=6時，⊙O與AC相切．
綜上所述，當x=0或（9-3$\sqrt{2}$）或6或（9+3$\sqrt{2}$）s時，半圓O所在的圓與△ABC的邊所在的直線相切．

點評 本題考查圓綜合題、平移變換、切線的判定和性質、等腰直角三角形的性質等扇形的面積公式知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．