Question

6．如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，CD⊥AB于D，若AD=3，BC=10，CD=6，則⊙O的半徑為$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 連接BO，延長BO交⊙O于點E，連接CE，由圓周角定理和已知條件易證△ADC∽△ECB，由相似三角形的性質可求出BE的長，進而可求出⊙O的半徑．

解答 解：連接BO，延長BO交⊙O于點E，連接CE，
∴∠BCE=90°，
∵CD⊥AB于D，AD=3，CD=6，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵∠A=∠E，
∴△ADC∽△ECB，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AC}{BE}$，
∵BC=10，
∴$\frac{6}{10}=\frac{3\sqrt{5}}{BE}$，
∴BE=5$\sqrt{5}$，
∴⊙O的半徑=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了三角形的外接圓與外心的有關知識，用到的知識點還有圓周角定理、勾股定理以及相似三角形的判斷和性質，正確添加輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．