Question

1．如圖1，正△ABC和Rt△ABD中，∠ADB=90°．
（1）如圖2，在四邊形ADBC中以AD為邊作等邊△ADE，求證：CE=BD；
（2）如圖3，在（1）的條件下，延長CE交DB于F，求證：DF=EF；
（3）若BC=6，△ABD的內切圓的半徑為r，則r的最大值為3$\sqrt{2}$-3（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）欲證明CE=BD，只要證明△ADB≌△AEC即可．
（2）由△DAB≌△EAC，推出∠AEC=∠ADB=∠AEF=90°，由∠ADE=∠AED=60°，推出∠FDE=∠FED=30°，即可證明．
（3）設BD=m，AD=n，則r=$\frac{m+n-6}{2}$=$\frac{m+n}{2}$-3，由m²+n²=36，因為36=m²+n²≥$\frac{（m+n）^{2}}{2}$，推出m+n≤6$\sqrt{2}$，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖2中，

∵△ADE是等邊三角形，△ABC是等邊三角形
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AEC，
∴BD=CE．

（2）證明：如圖3中，

由（1）可知，△DAB≌△EAC，
∴∠AEC=∠ADB=∠AEF=90°，
∵∠ADE=∠AED=60°，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴FD=FE，

（3）解：設BD=m，AD=n，則r=$\frac{m+n-6}{2}$=$\frac{m+n}{2}$-3，
∵m²+n²=36，
∵36=m²+n²≥$\frac{（m+n）^{2}}{2}$，
∴m+n≤6$\sqrt{2}$，
∴r≤3$\sqrt{2}$-3，
∴r的最大值為3$\sqrt{2}$-3．
故答案為3$\sqrt{2}$-3．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、不等式的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，難點是理解不等式的性質m²+n²≥$\frac{（m+n）^{2}}{2}$的應用，屬于中考壓軸題