Question

4．已知直線AB∥CD，直線EF與AB，CD分別相交于點E，F．
（1）如圖1，若∠1=60°，求∠2，∠3的度數．

（2）若點P是平面內的一個動點，連結PE，PF，探索∠EPF，∠PEB，∠PFD三個角之間的關系．
①當點P在圖（2）的位置時，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD請閱讀下面的解答過程并填空（理由或數學式）
解：如圖2，過點P作MN∥AB
則∠EPM=∠PEB（兩直線平行，內錯角相等）
∵AB∥CD（已知）MN∥AB（作圖）
∴MN∥CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）
∴∠MPF=∠PFD （兩直線平行，內錯角相等）
∴∠EPM+∠FPM=∠PEB+∠PFD（等式的性質）
即：∠EPF=∠PEB+∠PFD
②拓展應用，當點P在圖3的位置時，此時∠EPF=80°，∠PEB=156°則∠PFD=124度．
③當點P在圖4的位置時，請直接寫出∠EPF，∠PEB，∠PFD三個角之間關系∠EPF+∠PFD=∠PEB．

Answer 1

分析 （1）根據對頂角相等求∠2，根據兩直線平行，同位角相等求∠3；
（2）①過點P作MN∥AB，根據平行線的性質得∠EPM=∠PEB，且有MN∥CD，所以∠MPF=∠PFD，然后利用等式性質易得∠EPF=∠PEB+∠PFD．
②同①；
③利用平行線的性質和三角形的外角性質得到三個角之間的關系．

解答 解：（1）∵∠2=∠1，∠1=60°
∴∠2=60°，
∵AB∥CD
∴∠3=∠1=60°；
（2）①如圖2，過點P作MN∥AB，則∠EPM=∠PEB（兩直線平行，內錯角相等）
∵AB∥CD（已知），MN∥AB，
∴MN∥CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）
∴∠MPF=∠PFD（兩直線平行，內錯角相等）
∴∠EPM+∠MPF=∠PEB+∠PFD（等式的性質）
即∠EPF=∠PEB+∠PFD；
故答案為：兩直線平行，內錯角相等；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，內錯角相等；∠EPM+∠MPF；
②過點P作PM∥AB，如圖3所示：
則∠PEB+∠EPM=180°，∠MPF+∠PFD=180°，
∴∠PEB+∠EPM+∠MPF+∠PFD=180°+180°=360°，
即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°，
∴∠PFD=360°-80°-156°=124°；
故答案為：124；
③∠EPF+∠PFD=∠PEB．
故答案為：∠EPF+∠PFD=∠PEB．

點評 本題考查了平行線的判定與性質、三角形的外角性質；熟練掌握平行線的判定與性質，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．