Question

1．已知一組數據x₁，x₂…，x_n的方差為s²
（1）求數據x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的方差；
（2）求數據2x₁，2x₂，…，2x_n的方差；
（3）受（1）和（2）的啟發，猜想數據3x₁+2，3x₂+2，…，3x_n+2的方差（不必證）

Answer 1

分析 （1）先設數據x₁，x₂，…，x_n的平均數是$\overline{x}$，得出s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，再根據數據x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的平均數為$\overline{x}$+10，即可求得數據x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的方差為$\frac{1}{n}$[（x₁+10-$\overline{x}$-10）²+（x₂+10-$\overline{x}$-10）²+…+（x_n+10-$\overline{x}$-10）²]，據此化簡計算即可；
（2）根據數據2x₁，2x₂，…，2x_n的平均數是2$\overline{x}$，可得數據2x₁，2x₂，…，2x_n的方差為$\frac{1}{n}$[（2x₁-2$\overline{x}$）²+（2x₂-2$\overline{x}$）²+…+（2x_n-2$\overline{x}$）²]，據此化簡計算即可；
（3）根據數據3x₁+2，3x₂+2，…，3x_n+2的平均數是3$\overline{x}$+2，可得數據3x₁+2，3x₂+2，…，3x_n+2的方差為$\frac{1}{n}$[（3x₁+2-3$\overline{x}$-2）²+（3x₂+2-3$\overline{x}$-2）²+…+（3x_n+2-3$\overline{x}$-2）²]，據此化簡計算即可．

解答 解：（1）設數據x₁，x₂，…，x_n的平均數是$\overline{x}$，則
s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，
∵數據x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的平均數為$\overline{x}$+10，
∴數據x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的方差
=$\frac{1}{n}$[（x₁+10-$\overline{x}$-10）²+（x₂+10-$\overline{x}$-10）²+…+（x_n+10-$\overline{x}$-10）²]
=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]
=s²；

（2）∵數據2x₁，2x₂，…，2x_n的平均數是2$\overline{x}$，
∴數據2x₁，2x₂，…，2x_n的方差
=$\frac{1}{n}$[（2x₁-2$\overline{x}$）²+（2x₂-2$\overline{x}$）²+…+（2x_n-2$\overline{x}$）²]
=$\frac{1}{n}$[4（x₁-$\overline{x}$）²+4（x₂-$\overline{x}$）²+…+4（x_n-$\overline{x}$）²]
=4×$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]
=4s²；

（3）由（1）和（2）可得，數據3x₁+2，3x₂+2，…，3x_n+2的方差為9s²．
理由：數據3x₁+2，3x₂+2，…，3x_n+2的平均數是3$\overline{x}$+2，
∴數據3x₁+2，3x₂+2，…，3x_n+2的方差
=$\frac{1}{n}$[（3x₁+2-3$\overline{x}$-2）²+（3x₂+2-3$\overline{x}$-2）²+…+（3x_n+2-3$\overline{x}$-2）²]
=$\frac{1}{n}$[（3x₁-3$\overline{x}$）²+（3x₂-3$\overline{x}$）²+…+（3x_n-3$\overline{x}$）²]
=$\frac{1}{n}$[9（x₁-$\overline{x}$）²+9（x₂-$\overline{x}$）²+…+9（x_n-$\overline{x}$）²]
=9×$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]
=9s²．

點評 本題考查了方差的定義．解題時注意：當數據都加上一個數（或減去一個數）時，平均數也加或減這個數，方差不變；當數據都乘以一個數（或除以一個非零數）時，平均數也乘以或除以這個非零數，方差變為這個數的平方倍．