Question

9．如圖，正方形ABCD中，E，F分別為AB邊，BC邊上，且DE⊥AF于點G，H為線段DG上一點，連接AH，BH，BH交AF于點l，若∠GAH=45°，GI=1．正方形ABCD邊長為4，則△AHD面積為$\sqrt{7}$-1．

Answer 1

分析 延長DE到M，使得GM=GH，連接AM、BM，作BN⊥AF于N．由△MAB≌△HAD，推出DH=BM，∠ABM=∠ADE，由∠AED=∠MEB，推出∠EMB=∠EAD=90°，推出∠HGI=∠HMB=90°，推出GI∥BM，由MG=GH，推出HI=BI，由∠GIH=∠BIN，∠HGI=∠BNI=90°，推出△GHI≌△BNI，推出GI=IN=1，易證四邊形BMGN是矩形，推出BM=GN=2，推出DH=BM=2，設AG=GH=x，在Rt△ADG中根據AD²=AG²+DG²，可得4²=x²+（x+2）²，解方程即可．

解答 解：延長DE到M，使得GM=GH，連接AM、BM，作BN⊥AF于N．

∵AG⊥HM，GM=HG，
∴AH=AM，
∵AG=GH=GM，
∴∠MAH=90°，
∴∠MAH=∠DAB，
∴∠MAB=∠HAD，
在△AMB和△AHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AH}\\{∠MAB=∠HAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△MAB≌△HAD，
∴DH=BM，∠ABM=∠ADE，
∵∠AED=∠MEB，
∴∠EMB=∠EAD=90°，
∴∠HGI=∠HMB=90°，
∴GI∥BM，
∵MG=GH，
∴HI=BI，
∵∠GIH=∠BIN，∠HGI=∠BNI=90°，
∴△GHI≌△BNI，
∴GI=IN=1，易證四邊形BMGN是矩形，
∴BM=GN=2，
∴DH=BM=2，設AG=GH=x，
在Rt△ADG中，∵AD²=AG²+DG²，
∴4²=x²+（x+2）²，
解得x=-1+$\sqrt{7}$或-1-$\sqrt{7}$（舍棄），
∴S_△ADH=$\frac{1}{2}$•DH•AG=$\frac{1}{2}$×2×（-1+$\sqrt{7}$）=$\sqrt{7}$-1．

點評 本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、矩形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用勾股定理構建方程，屬于中考填空題中的壓軸題．