Question

13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（4，3），點B（6，0），邊AB上有一點P（m，1），點M，N分別在邊OB、OA上，聯結MN，MN∥AB，聯結PM、PN、AM．
（1）求直線AB的解析式及點P的坐標；
（2）當AC=CM時，求出點M的坐標；
（3）在（2）的條件下，點Q在邊AB上，S_△ANQ=S_△ANC，請直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）由A、B兩點的坐標，利用待定系數法可求得直線AB的解析式，再把P點坐標代入直線解析式可求得P點坐標；
（2）由條件可證明△ACP≌△MCN，可證得四邊形APMN為平行四邊形，由A、P的坐標可求得AP的長，則可求得MN的長，利用平行線分線段成比例可求得OM的長，則可求得M的坐標；
（3）由條件可知點Q為AP的中點，由A、P的坐標可求求得Q點的坐標．

解答 解：
（1）設直線AB解析式為y=kx+b，
把A、B兩點坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+6，
∵P（m，1）在直線AB上，
∴1=-$\frac{3}{2}$m+6，解得m=$\frac{10}{3}$，
∴P點坐標為（$\frac{10}{3}$，1）；

（2）∵MN∥AB，
∴∠PAC=∠NMC，
在△ACP和△MCN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAC=∠NMC}\\{AC=MC}\\{∠ACP=∠MCN}\end{array}\right.$
∴△ACP≌△MCN（ASA），
∴AP=MN，
∴四邊形APMN為平行四邊形，
∵A（4，3），P（$\frac{10}{3}$，1），
∴MN=AP=$\sqrt{（4-\frac{10}{3}）^{2}+（3-1）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∵B（6，0），
∴OB=6，AB=$\sqrt{（4-6）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵MN∥AB，
∴$\frac{OM}{OB}$=$\frac{MN}{AB}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{OM}{6}$=$\frac{\frac{2\sqrt{10}}{3}}{\sqrt{13}}$，解得OM=$\frac{4\sqrt{130}}{13}$，
∴M點坐標為（$\frac{4\sqrt{130}}{13}$，0）；

（3）∵S_△ANQ=S_△ANC，
∴點C和點Q到AN的距離相等，
∴CQ∥AN，
∴C為PN的中點，
∴Q為AP的中點，
∵A（4，3），P（$\frac{10}{3}$，1），
∴Q點坐標為（$\frac{11}{3}$，2）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及待定系數法、全等三角形的判定和性質、勾股定理、平行四邊形的判定和性質、平行線分線段成比例、三角形的面積等知識點．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）中證得四邊形APMN為平行四邊形，求得OM的長是解題的關鍵，在（3）中確定出點Q為AP的中點是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．