Question

9．在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，點P從點A出發，沿折線A-B-C-D方向以2cm/s的速度勻速運動；點Q從點D出發，沿線段DC方向以1cm/s的速度勻速運動，已知兩點同時出發，當一個點到達終點時，另一點也停止運動，設運動時間為t（s）．
（1）求CD的長；
（2）連接PQ，當t為何值時，∠PQC=45°？
（3）在點P，Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使得△BPQ的面積為10cm²？若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過A點作AM⊥CD于M，根據勾股定理可求得DM=6，進而求得DC=16；
（2）當∠PQC=45°時，需要分類討論：①當點P在線段AB上，②當點P在線段BC上，通過作輔助線構建等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質列出方程，由方程的解即可得到答案；
（3）分三種情況討論：①當點P在線段AB上，②當點P在線段BC上，③當點P在線段CD上，根據三種情況點的位置，即可求得t的值．

解答 解：（1）如圖1，過A點作AM⊥CD于M，則四邊形AMCB是矩形，
∴AM=BC=8，MC=AB=10，
∵AD=10，
∴DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴CD=DM+CM=6+10=16；

（2）①當∠PQC=45°時，點P在AB上，點Q在DC上，如圖2，
此時PT=QT．
過點P作PT⊥CD于點T，則QT=PT．
由題意得：BP=CT=10-2t，
則QT=16-t-（10-2t）=6+t，PT=8，
∴6+t=8，
∴t=2；
②當∠PQC=45°時，點P在AB上，點Q在DC上，如圖3，
此時PC=18-2t，QC=16-t．
由PC=QC得到：18-2t=16-t，
解得t=2（不合題意，舍去）
綜上所述，當t=2時，∠PQC=45°；

（3）①當點P在線段AB上時，即0≤t≤5時，如圖4，
S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP•BC=$\frac{1}{2}$（10-2t）×8=10，
解得t=3.25；
②當點P在線段BC上時，即5＜t≤9時，如圖3，
BP=2t-10，CQ=16-t，
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP•CQ=$\frac{1}{2}$（2t-10）×（16-t）=10，
化簡得：t²-21t+90=0，
解得 t₁=15（舍去），t₂=6；
③當點P在線段CD上時，
若點P在Q的右側，即9≤t≤$\frac{34}{3}$時，則有PQ=34-3t，
S_△BPQ=$\frac{1}{2}$（34-3t）×8=10，
解得t=$\frac{63}{6}$，
若點P在Q的左側，即$\frac{34}{3}$＜t≤16時，則有PQ=3t-34，
S_△BPQ=$\frac{1}{2}$（3t-34）×8=10，
解得t=$\frac{73}{6}$；
綜上，滿足條件的t的值存在，分別為3.25或6或$\frac{63}{6}$或$\frac{73}{6}$．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的判定和性質，平行四邊形的性質，勾股定理的應用以及三角形的面積等，分類討論的思想是本題的關鍵．