Question

4．1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$，1-$\frac{1}{{3}^{2}}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$，1-$\frac{1}{{4}^{2}}$=$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$．
（1）按上述規律填空：
1-$\frac{1}{10{0}^{2}}$=$\frac{99}{100}$×$\frac{101}{100}$，
1-$\frac{1}{200{9}^{2}}$=$\frac{2008}{2009}$×$\frac{2010}{2009}$．
（2）計算：
（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）×…×（1-$\frac{1}{200{9}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{201{0}^{2}}$）

Answer 1

分析 （1）觀察已知等式得出一般性規律，寫出即可；
（2）原式利用得出的規律變形，約分即可得到結果．

解答 解：（1）1-$\frac{1}{10{0}^{2}}$=$\frac{99}{100}$×$\frac{101}{100}$；1-$\frac{1}{200{9}^{2}}$=$\frac{2008}{2009}$×$\frac{2010}{2009}$；
故答案為：$\frac{99}{100}$；$\frac{101}{100}$；$\frac{2008}{2009}$；$\frac{2010}{2009}$；
（2）原式=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×…×$\frac{2008}{2009}$×$\frac{2010}{2009}$×$\frac{2009}{2010}$×$\frac{2011}{2010}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{2011}{2010}$=$\frac{2011}{4020}$．

點評 此題考查了有理數的混合運算，觀察已知等式得出一般性規律是解本題的關鍵．