Question

9．如圖，已知E是平行四邊形ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長AE交DC的延長線于點F．
（1）求證：△ABE≌△FCE；
（2）連接AC、BF，若BC=2AE，求證：四邊形ABFC為矩形；
（3）在（2）條件下，當△ABC再滿足一個什么條件時，四邊形ABFC為正方形．（不需證明）

Answer 1

分析 （1）根據平行線的性質，可以利用AAS或ASA判斷．
（2）根據對角線相等的平行四邊形是矩形證明即可．
（3）結論：當△ABC為等腰三角形時，即AB=AC時，四邊形ABFC為正方形；根據鄰邊相等的矩形是正方形即可證明．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠ECF，
∵E為BC的中點，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ECF}\\{BE=CE}\\{∠AEB=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；

（2）∵△ABE≌△FCE，
∴BE=EC，AE=EF，
∴四邊形ABFC為平行四邊形，
∵AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴AF=BC，
∴四邊形ABFC為矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）；

（3）當△ABC為等腰三角形時，即AB=AC時，四邊形ABFC為正方形；
理由如下：
由（2）可知四邊形ABFC是矩形，
∵AB=AC，
∴四邊形ABFC為正方形（鄰邊相等的矩形是正方形）．
故答案為：AB=AC．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質、矩形的判定、正方形的判定，全等三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握特殊四邊形的判定和性質，屬于中考常考題型．