Question

4．如圖，在四邊形ABDC中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，并且E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共線．
（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）當(dāng)AC=BD時(shí)，求證：四邊形EFGH為菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形中位線定理得到FG∥EH，F(xiàn)G=EH，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明；
（2）根據(jù)菱形是判定定理證明．

解答 （1）證明：∵F，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，
∴FG=$\frac{1}{2}$BD，F(xiàn)G∥BD，
∵E，H分別為AB，DA的中點(diǎn)，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD，EH∥BD，
∴FG∥EH，F(xiàn)G=EH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）證明：由（1）得，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，GH=$\frac{1}{2}$BC，
∵AC=BD，
∴GF=GH，
∴平行四邊形EFGH為菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行四邊形的判定定理、菱形的判定定理，掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．