Question

19．如圖，在△ABC中，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，交AB于點G，且D是BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，交AC的延長線于點F．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）CF=5，cos∠A=$\frac{2}{5}$，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連結OD．先證明OD是△ABC的中位線，根據中位線的性質得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根據切線的判定即可得出直線EF是⊙O的切線；
（2）根據平行線的性質得到∠COD=∠A．由cos∠A=cos∠FOD=$\frac{OD}{OF}$=$\frac{2}{5}$，設⊙O的半徑為R，于是得到$\frac{R}{R+5}$=$\frac{2}{5}$，解得R=$\frac{10}{3}$，根據三角函數的定義即可得到結論．

解答 （1）證明：如圖，連結OD．
∵CD=DB，CO=OA，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AB，AB=2OD，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，即OD⊥EF，
∴直線EF是⊙O的切線；

（2）解：∵OD∥AB，
∴∠COD=∠A．
在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，
∴cos∠A=cos∠FOD=$\frac{OD}{OF}$=$\frac{2}{5}$，
設⊙O的半徑為R，則$\frac{R}{R+5}$=$\frac{2}{5}$，
解得R=$\frac{10}{3}$，
∴AB=2OD=$\frac{20}{3}$．
在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，
∴cos∠A=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AE}{5+\frac{20}{3}}$=$\frac{2}{5}$，
∴AE=$\frac{14}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定，解直角三角形，三角形中位線的性質知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連結圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．