Question

15．已知關于x的一元二次方程x²-3x+m-3=0，若此方程的兩根的倒數和為1，求m的值．

Answer 1

分析 設方程的兩個根分別為α、β，由根與系數的關系可得出α+β=3、αβ=m-3，結合$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=1可得出$\frac{3}{m-3}$=1，解之即可得出m的值，再根據根的判別式即可得出△=21-4m≥0，解之即可得出m的取值范圍，由此即可確定m無解．

解答 解：設方程的兩個根分別為α、β，
∴α+β=3，αβ=m-3．
∵$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=$\frac{α+β}{αβ}$=$\frac{3}{m-3}$=1，
∴m=6，
經檢驗，m=6是分式方程$\frac{3}{m-3}$=1的解．
∵方程x²-3x+m-3=0有兩個實數根，
∴△=（-3）²-4（m-3）=21-4m≥0，
∴m≤$\frac{21}{4}$，
∴m=6舍去．
∴m無實數根．

點評 本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，利用根與系數的關系結合$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=1找出$\frac{3}{m-3}$=1是解題的關鍵．