Question

4．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=$\frac{1}{2}$x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以AB為腰長在第二象限內作等腰直角△ABC（其中∠CAB=90°）．
①求AB的長；
②求點C的坐標；
③你能否在x軸上找一點M，使△MCB的周長最小？如果能，請求出M點的坐標；如果不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式可求得A、B兩點的坐標，再利用勾股定理可求得AB的長；
（2）過點C作CD⊥x軸于點D，則可證得△ADC≌△BOA，可求得CD和OD的長，則可求得點C的坐標；
（3）找B點關于x軸的對稱點B′，連接B′C交x軸于點M，由軸對稱的性質可知點M即為滿足條件的點，由B′、C的坐標可求得直線B′C的解析式，則可求得M點坐標．

解答 解：
（1）在y=$\frac{1}{2}$x+1中，令y=0可得$\frac{1}{2}$x+1=0，解得x=-2，
令x=0可得y=1，
∴A（-2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
（2）過C作CD⊥x軸于點D，如圖1，

∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠CAB=90°，
∴∠CAD+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
在△ACD和△BOA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDA=∠AOB}\\{∠CAD=∠ABO}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BOA（AAS），
∴CD=AO=2，DA=BO=1，
∴OD=OA+AD=2+1=3，
∴C（-3，2）；
（3）如圖2，B關于x軸的對稱點為B′，連接B′C交x軸于點M，

則BM=B′M，
∵C、M、B′在一條線上，
∴CM+BM最小，即△MCB的周長最小，
∵B（0，2），
∴B′（0，-2），
設直線B′C解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線B′C的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-2，
令y=0，可得-$\frac{4}{3}$x-2=0，解得x=-$\frac{3}{2}$，
∴存在滿足條件的點M，其坐標為（-$\frac{3}{2}$，0）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及待定系數法、勾股定理、等腰直角三角形的性質、軸對稱的性質及全等三角形的判定和性質等知識．在（1）中求得A、B兩點的坐標是解題的關鍵，在（2）中構造三角形全等是解題的關鍵，在（3）中確定出M點的位置是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，但難度不大，較易得分．