Question

15．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線，與直線BC相交于點(diǎn)E．
（1）求直線BC的解析式；
（2）當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)求出A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m+2），設(shè)DE的長(zhǎng)度為d，構(gòu)建二次函數(shù)即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，
∴令y=0，可得x=1或4，
∴A（ 1，0），B（ 4，0）；
令x=0，則y=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有，
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
設(shè)DE的長(zhǎng)度為d，
∵點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，
則d=-$\frac{1}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），
整理得，d=-$\frac{1}{2}$m²+2m=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2，
∵a=-1＜0，
∴當(dāng)m=2時(shí)，d_最大=2
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 2，-1）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，設(shè)出D的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)最值得D點(diǎn)坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．