Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，BD與⊙O相切于B，C為⊙O上點，OD⊥BC，DO與⊙O相交于點E，AE交CB于F．
（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）AF=3，EF=1，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）首先證明OD是線段BC的垂直平分線，推出DC=DB，推出∠DCB=∠DBC，由OC=OB，推出∠OCB=∠OBC，推出∠DCO=∠DCB+∠OCB=∠DBC+∠OBC=∠DBO，由DB是切線，推出OB⊥BD，推出∠DBO=90°，推出∠DCO=90°，即可解決問題．
（2）由△ACF∽△EHF，得$\frac{AC}{EH}$=$\frac{CF}{FH}$=$\frac{AF}{EF}$=3，設EH=a，則AC=3a，OH=$\frac{3}{2}$a，AB=5a，BC=4a，CH=BH=2a，FH=$\frac{1}{2}$a，CF=$\frac{3}{2}$a，在Rt△EFH中，根據EF²=FH²+EH²，列出方程即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖，連接OC，OD與BC交于點H．
∵OD⊥BC，
∴CH=HB，即OD垂直平分線段BC，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠DCO=∠DCB+∠OCB=∠DBC+∠OBC=∠DBO，
∵DB是切線，
∴OB⊥BD，
∴∠DBO=90°，
∴∠DCO=90°，
∴DC⊥OC，
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠OHB=∠ACB=90°，
∴OE∥AC，
∴△ACF∽△EHF，
∴$\frac{AC}{EH}$=$\frac{CF}{FH}$=$\frac{AF}{EF}$=3，設EH=a，則AC=3a，OH=$\frac{3}{2}$a，AB=5a，BC=4a，CH=BH=2a，FH=$\frac{1}{2}$a，CF=$\frac{3}{2}$a，
 在Rt△EFH中，∵EF²=FH²+EH²，
∴1=$\frac{1}{4}$a²+a²，
∴a=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴CF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查切線的判定和性質、勾股定理、垂徑定理、相似三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．