Question

5．如圖，己知AB是半徑為2的圓O直徑，C是圓上一點，D是BC延長線上一點，過點D的直線交AC于E點，且△AEF為等邊三角形．
（1）求證：△DFB是等腰三角形；
（2）若AF=1，求DA的長度；
（3）若DA=$\sqrt{7}$AF，求證：CF⊥AB．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O直徑，得到∠ACB=90°，由于△AEF為等邊三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根據三角形的外角的性質即可得到結論；
（2）根據等邊三角形求出FM、AM、根據勾股定理求出AF即可；
（3）過點A作AM⊥DF于點M，設AF=2a，根據等邊三角形的性質得到FM=EM=a，AM=$\sqrt{3}$a，在根據已知條件得到AB=AF+BF=8a，根據直角三角形的性質得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC，根據三角形的內角和即可得到結論．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵△AEF為等邊三角形，
∴∠CAB=∠EFA=60°
∴∠B=30°，
∵∠EFA=∠B+∠FDB，
∴∠B=∠FDB=30°，
∴△DFB是等腰三角形；

（2）解：過點A作AM⊥DF于點M，
∵AB=2×2=4，AF=1，
∴BF=4-1=3，
∵DF=BF，
∴DF=3，
∵△AEF是等邊三角形，
∴FM=EM=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$，AM=$\sqrt{3}$FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△DAM中，AD=$\sqrt{7}$AF=$\sqrt{7}$×1=$\sqrt{7}$；


（3）證明：設AF=2a，

∵△AEF是等邊三角形，
∴FM=EM=a，AM=$\sqrt{3}$a，
在Rt△DAM中，AD=$\sqrt{7}$AF=2$\sqrt{7}$a，AM=$\sqrt{3}$a，
∴DM=5a，∴DF=BF=6a，
∴AB=AF+BF=8a，
在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=4a，
∵AE=EF=AF=2a，
∴CE=AC-AE=2a，
∴∠ECF=∠EFC，
∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，
∴∠CFE=30°，
∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，
∴CF⊥AB．

點評 本題考查了圓周角定理，等邊三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，含30°角的直角三角形，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．