Question

13．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3 cm，BC=5 cm，點D在線段AC上，且CD=1 cm，動點P從BA的延長線上距A點5 cm的E點出發，以每秒2 cm的速度沿射線EA的方向運動了t秒．
（1）直接用含有t的代數式表示PE=2t；
（2）在運動過程中，是否存在某個時刻，使△ABC與以A、D、P為頂點的三角形全等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
（3）求△CPB的面積S關于t的函數表達式，并畫出圖象．

Answer 1

分析 （1）根據題意可得PE=2t．
（2）當PA=AC=4時，△ABC≌△ADP，可得方程5-2t=4或2t-5=4，解方程即可．
（3）分兩種情形討論即可①當0＜t≤4時．②當t＞4時，分別求解即可．

解答 解：（1）由題意PE=2t．
故答案為2t．

（2）存在．
理由：在Rt△ABC中，∵AB=3，BC=5，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵CD=1，
∴AD=AB=3，
在△ABC和△PAD中，
∵∠BAC=∠DAP=90°，AD=BC，
∴當PA=AC=4時，△ABC≌△ADP，
∴5-2t=4或2t-5=4，
∴t=$\frac{1}{2}$s或$\frac{9}{2}$s．
∴∴t=$\frac{1}{2}$s或$\frac{9}{2}$s時，使△ABC與以A、D、P為頂點的三角形全等．

（3）①當0＜t≤4時，S=$\frac{1}{2}$PB•AC=$\frac{1}{2}$•（8-2t）•4=16-4t．
②當t＞4時，S=S=$\frac{1}{2}$PB•AC=$\frac{1}{2}$•（2t-8）•4=4t-16．
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{16-4t}&{（0＜t≤4）}\\{4t-16}&{（t＞4）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，注意一題多解，屬于中考常考題型．