Question

3．Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA為半徑的圓P與射線AC的另一個(gè)交點(diǎn)為D，直線PD交BC于點(diǎn)E．
（1）AB=5；
（2）求證：PB=PE；
（3）若AP=2，求ED，DC的長(zhǎng)；
（4）若圓P與邊BC沒(méi)有公共點(diǎn)，直接寫出AP的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠PDA，進(jìn)而得出∠PBE=∠PEB，求出即可；
（2）由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DEC，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論；
（4）直接利用圓P與邊BC相切前以及A，C，B共圓后分別得出AP的取值范圍．

解答 （1）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
故答案為：5；

（2）證明：如圖1，∵PA=PD，
∴∠A=∠PDA，
∵∠EDC=∠PDA，∴∠A=∠EDC，
∵AC⊥BC，
∴∠PBE=∠PEB，
∴PB=PE；

（3）解：如圖1，
∵AP=DP，
∴∠PAD=∠PDA．
∴∠PAD=∠CDE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DEC．
∴∠ABC=∠DEC，$\frac{BC}{EC}$=$\frac{AB}{DE}$=$\frac{AC}{DC}$．
∴PB=PE．
Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5．
∵AP=2，
∴PB=PE=3，DE=1，
∴$\frac{4}{DC}$=$\frac{5}{1}$，
解得：CD=$\frac{4}{5}$；

（4）如圖2所示：
當(dāng)⊙P與直線BC相切，切點(diǎn)為N，
連接PN，則PN⊥BC與點(diǎn)N，
∵∠PNB=∠ACB=90°，
∴AC∥PN，
∴△ACB∽△PNB，
∴$\frac{PN}{AC}$=$\frac{PB}{AB}$，
設(shè)⊙P的半徑為AP=x，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{5-x}{5}$，
解得：x=$\frac{20}{9}$，
∴當(dāng)0＜AP＜$\frac{20}{9}$時(shí)，圓P與邊BC沒(méi)有公共點(diǎn)，
如圖3，當(dāng)A，C，B三點(diǎn)共圓，則AB是直徑，此時(shí)AP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
故當(dāng)$\frac{5}{2}$＜AP時(shí)，圓P與邊BC沒(méi)有公共點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)0＜AP＜$\frac{20}{9}$時(shí)或當(dāng)$\frac{5}{2}$＜AP時(shí)，圓P與邊BC沒(méi)有公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識(shí)，得出△ABC∽△DEC是解題關(guān)鍵．