Question

16．如圖，將正方形ABCD對折，使點A點與D重合，點B與C重合，折痕EF；展開后再次折疊，使點A與點D重合于正方形內點G處，折痕分別為BH，CI，如果正方形ABCD的邊長是2，則下列結論：①△GBC是等邊三角形；②△IGH的面積是7$\sqrt{3}$-12；③tan∠BHA=2+$\sqrt{3}$；④GE=2$\sqrt{3}$，其中正確的個數有（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由折疊的性質得，AB=BG，CD=CG，根據正方形的性質得到AB=BC=CD，等量代換得到BG=BC=CG，推出△GBC是等邊三角形；故①正確；根據正方形的性質得到AD=AB=BC=DC=2；∠D=∠A=90°，由等邊三角形的性質得到∠BGC=60°，GE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\sqrt{3}$，故④錯誤；推出∠FIG=30°，得到FI=$\sqrt{3}$FG=$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-3，根據三角形打麻將公式得到△HIG的面積=7$\sqrt{3}$-12，故②正確；根據勾股定理得到AH=HG=$\sqrt{H{F}^{2}+F{G}^{2}}$=4-2$\sqrt{3}$，由三角函數的定義得到tan∠BHA=$\frac{AB}{AH}$=$\frac{2}{4-2\sqrt{3}}$=2+$\sqrt{3}$；故③正確．

解答 解：由折疊的性質得，AB=BG，CD=CG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，
∴BG=BC=CG，
∴△GBC是等邊三角形；故①正確；
∵FE⊥BC，EF⊥AD，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB=BC=DC=2；∠D=∠A=90°，
又∵將正方形ABCD折疊，使點A與點D重合于正方形內點G處，
∵△GBC為等邊三角形，
∴∠BGC=60°，GE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\sqrt{3}$，故④錯誤；
∴∠HGI=120°，FG=EF-GE=2-$\sqrt{3}$，
∴∠FIG=30°，
∴FI=$\sqrt{3}$FG=$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-3，
∴HI=2FI=4$\sqrt{3}$-6，
∴△HIG的面積=$\frac{1}{2}$HI•FG=$\frac{1}{2}$（2-$\sqrt{3}$）（4$\sqrt{3}$-6）
=7$\sqrt{3}$-12，故②正確；
∵AH=HG=$\sqrt{H{F}^{2}+F{G}^{2}}$=4-2$\sqrt{3}$，
∴tan∠BHA=$\frac{AB}{AH}$=$\frac{2}{4-2\sqrt{3}}$=2+$\sqrt{3}$；故③正確；
故選C．

點評 本題考查了折疊的性質：折疊前后的兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等．也考查了正方形和等邊三角形的性質以及含30°的直角三角形三邊的關系．