Question

16．當x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$時，求$\frac{x+1+\sqrt{{x}^{2}+x}}{x+1-\sqrt{{x}^{2}+x}}$+$\frac{x+1-\sqrt{{x}^{2}+x}}{x+1+\sqrt{{x}^{2}+x}}$的值．（結果用最簡二次根式表示）

Answer 1

分析 首先將x的值分母有理化，再將原式化簡，進而把已知數據求出答案．

解答 解：∵x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1，
∴$\frac{x+1+\sqrt{{x}^{2}+x}}{x+1-\sqrt{{x}^{2}+x}}$+$\frac{x+1-\sqrt{{x}^{2}+x}}{x+1+\sqrt{{x}^{2}+x}}$
=$\frac{（x+1+\sqrt{{x}^{2}+x}）^{2}}{（x+1-\sqrt{{x}^{2}+x}）（x+1+\sqrt{{x}^{2}+x}）}$-$\frac{（x+1-\sqrt{{x}^{2}+x}）^{2}}{（x+1+\sqrt{{x}^{2}+x}）（x+1-\sqrt{{x}^{2}+x}）}$
=$\frac{4{x}^{2}+6x+2}{x+1}$
=$\frac{4（\sqrt{2}+1）^{2}+6（\sqrt{2}+1）+2}{\sqrt{2}+2}$
=$\frac{4（3+2\sqrt{2}）+6\sqrt{2}+6+2}{\sqrt{2}+2}$
=6+4$\sqrt{2}$．

點評 此題主要考查了二次根式的化簡與求值，正確分母有理化是解題關鍵．