Question

5．已知半徑為10的⊙O中的弦AB與弦CD平行，AB=12，CD=16，M，N分別為AB，CD的中點，則MN=2或14．

Answer 1

分析 根據垂徑定理證明M、O、N在同一條直線上，分兩種情況進行討論：①弦AB和CD在圓心同側；②弦AB和CD在圓心異側；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．

解答 解：∵連接OM、ON，
∵M，N分別為AB，CD的中點，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∵AB∥CD，
∴M、O、N在同一條直線上，
當弦AB和CD在圓心同側時，如圖1，
∵AB=16，CD=12，
∴AM=8，CN=6，
∵OA=OC=10，
∴MO=6，ON=8，
∴MN=ON-OM=2；
當弦AB和CD在圓心異側時，如圖2，
∵AB=16，CD=12，
∴AM=8，CN=6，
∵OA=OC=10，
∴MO=6，ON=8，
∴MN=ON+OM=14，
故答案為：2或14．

點評 本題考查了勾股定理和垂徑定理，解此類題目要注意將圓的問題轉化成三角形的問題再進行計算．