Question

5．閱讀下列材料，然后回答問題．
先閱讀下列第（1）題的解答過程，再解第（2）題．
（1）已知實數a、b滿足a²=2-2a，b²=2-2b，且a≠b，求$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$的值．
解：由已知得：a²+2a-2=0，b²+2b-2=0，且a≠b，故a、b是方程：x²+2x-2=0的兩個不相等的實數根，由根與系數的關系得：a+b=-2，ab=-2．∴$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$=$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{ab}$
=$\frac{{{{（a+b）}^2}-2ab}}{ab}$=-4
（2）已知p²-2p-5=0，且 p、q為實數，
①若q²-2q-5=0，且p≠q，則：p+q=2，pq=-5；
②若5q²+2q-1=0，且pq≠1，求${p^2}+\frac{1}{q^2}$的值．

Answer 1

分析 ①把p、q看作方程x²-2x-5=0的兩根，根據•根與系數的關系得到p+q=2，pq=-5；
②先把5q²+2q-1=0變形為（$\frac{1}{q}$）²-2•$\frac{1}{q}$-5=0，則p、$\frac{1}{q}$可看作方程x²-2x-5=0的兩根，根據根與系數關系得到p+$\frac{1}{q}$=2，p•$\frac{1}{q}$=-5，再利用完全平方公式變形得${p^2}+\frac{1}{q^2}$=（p+$\frac{1}{q}$）²-2p•$\frac{1}{q}$，然后利用整體代入的方法計算．

解答 解：①∵p²-2p-5=0，q²-2q-5=0，p≠q，
∴p、q可看作方程x²-2x-5=0的兩根，
∴p+q=2，pq=-5；
故答案為2，-5；
②∵5q²+2q-1=0，
∴（$\frac{1}{q}$）²-2•$\frac{1}{q}$-5=0，
而pq≠1，
∴p、$\frac{1}{q}$可看作方程x²-2x-5=0的兩根，
∴p+$\frac{1}{q}$=2，p•$\frac{1}{q}$=-5，
∴${p^2}+\frac{1}{q^2}$=（p+$\frac{1}{q}$）²-2p•$\frac{1}{q}$=2²-2×（-5）=14．

點評 本題考查了根與系數的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．