Question

19．已知AB為直徑，CD⊥AB，點E在OA上，CE的延長線交⊙O于F，連FA，CA．
（1）如圖1，若CD為直徑，E為OA中點，求tan∠ACF的值；
（2）如圖2，當CD與CF重合，弦AG交BC于M，連CD交BC邊于N，交AB于K，連MK，求證：MK⊥AB．
（3）在（2）問條件下，如圖3，弦AG平分半徑OC于H，$\frac{AE}{OE}$=$\frac{2}{3}$，AB=10，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作EM⊥AC于M，設(shè)⊙O的半徑為2a．想辦法求出EM，CM．根據(jù)tan∠ACF=$\frac{EM}{CM}$計算即可．
（2）先證明△AGK∽△ABM，得$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AK}{AM}$，即$\frac{AG}{AK}$=$\frac{AB}{AM}$，又∠MAK=∠BAG，推出△AMK∽△ABG，推出∠AKM=∠AGB=90°即可證明．
（3）如圖3中，作HG⊥AB于G．首先證明tan∠MAK=$\frac{HG}{AG}$=$\frac{2}{3.5}$=$\frac{4}{7}$，tan∠MBK=$\frac{CE}{EB}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)MK=x，則AK=$\frac{7}{4}$x，BK=2x，可得方程$\frac{7}{4}$x+2x=10，推出x=$\frac{8}{3}$，再求出BC、BM、CM，由MK∥CD，得$\frac{MN}{CN}$=$\frac{MK}{CD}$，設(shè)MN=y，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作EM⊥AC于M，設(shè)⊙O的半徑為2a．

∵AB，CD是直徑，AB⊥CD，
∴∠A=45°，
∵AE=OE=a，
∴AM=ME=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AC=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$a，
∴CM=CA-AM=2$\sqrt{2}$a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$a，
∴tan∠ACF=$\frac{EM}{CM}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{3}{2}\sqrt{2}a}$=$\frac{1}{3}$．

（2）如圖2中，連接BG．

∵AB是直徑，AB⊥CD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，∠AGB=90°
∴∠AGK=∠ABM，∵∠GAK=∠BAM，
∴△AGK∽△ABM，
∴$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AK}{AM}$，
∴$\frac{AG}{AK}$=$\frac{AB}{AM}$，∴∠MAK=∠BAG，
∴△AMK∽△ABG，
∴∠AKM=∠AGB=90°，
∴MK⊥AB．

（3）如圖3中，作HG⊥AB于G．

∵OA=OB=5，AE+EO=2：3，
∴AE=2，OE=3，
在Rt△CEO中，CE=DE=$\sqrt{C{O}^{2}-O{E}^{2}}$=4，
∵CH=HO，HG∥CE，
∴EG=GO=1.5，HE=$\frac{1}{2}$CE=2，
∴tan∠MAK=$\frac{HG}{AG}$=$\frac{2}{3.5}$=$\frac{4}{7}$，tan∠MBK=$\frac{CE}{EB}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)MK=x，則AK=$\frac{7}{4}$x，BK=2x，
∴$\frac{7}{4}$x+2x=10，
∴x=$\frac{8}{3}$，
∴MK=$\frac{8}{3}$，BK=$\frac{16}{3}$，BM=$\sqrt{M{K}^{2}+B{K}^{2}}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{5}$，
∵BC=$\sqrt{E{B}^{2}+E{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴CM=BC-BM=$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$，設(shè)MN=y，
∵MK∥CD，
∴$\frac{MN}{CN}$=$\frac{MK}{CD}$，
∴$\frac{y}{y+\frac{4}{3}\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{8}{3}}{8}$，
∴y=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，
∴MN=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$．

點評 本題考查圓綜合題、銳角三角函數(shù)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會用方程思想思考問題，本題的突破點是求出線段MK的長，屬于中考壓軸題．