Question

8．已知二次函數(shù)y=-x²+2x+m．
（1）如果二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）如圖，二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，求直線AB與這個二次函數(shù)的解析式；
（3）在直線AB上方的拋物線上有一動點(diǎn)D，當(dāng)D與直線AB的距離DE最大時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求DE最大距離是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，△＞0，即可得到結(jié)論；
（2）把點(diǎn)A（3，0）代入y=-x²+2x+m得到-9+6+m=0得到B（0，3），
解方程組即可得到結(jié)論；
（3）過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為C，再過點(diǎn)A作AG⊥CD，垂足為G，連接BD，AD，得到當(dāng)DE的值越大時，S_△ADB的面積越大，設(shè)D（x，y），DC=x，BC=y-3，DG=3-x，AG=y根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，△＞0，即4+4m＞0，
∴m＞-1；
（2）∵點(diǎn)A（3，0）在拋物線y=-x²+2x+m上，
∴-9+6+m=0，∴m=3．
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3，且B（0，3），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A（3，0），B（0，3）代入y=kx+b中，得到
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+3；
（3）過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為C，再過點(diǎn)A作AG⊥CD，垂足為G，連接BD，AD，
∵AB為定值，∴當(dāng)DE的值越大時，S_△ADB的面積越大，
設(shè)D（x，y），DC=x，BC=y-3，DG=3-x，AG=y
∴S_△ADB=S_梯形AGCB-S_△BDC-S_△ADG，
∴S_△ADB=$\frac{3（y-3+y）}{2}$-$\frac{1}{2}$（y-3）x-$\frac{1}{2}$（3-x）y=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵a=-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當(dāng)$x=\frac{3}{2}$時，S_△ADB的最大值=$\frac{27}{8}$，
將$x=\frac{3}{2}$代入y=-x²+2x+3，得到$y=\frac{15}{4}$，即D（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
又∵S_△ADB=$\frac{1}{2}$DE•AB，且AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$DE=$\frac{27}{8}$．
∴DE=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$，
答：DE的最大值為$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，確定當(dāng)DE的值越大時，S_△ADB的面積越大是解題的關(guān)鍵．