Question

13．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）點(diǎn)M是坐標(biāo)軸上的一個(gè)點(diǎn)，若AB為直角邊構(gòu)造直角三角形△ABM，請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作∠CAD=90°，射線AC交x軸的負(fù)半軸與點(diǎn)C，射線AD交y軸的負(fù)半軸與點(diǎn)D，當(dāng)∠CAD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，OC-OD的值是否發(fā)生變化？若不變，直接寫出它的值；若變化，直接寫出它的變化范圍（不要解題過(guò)程）．

Answer 1

分析 （1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；
（2）分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作AB的垂線，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求的M點(diǎn)，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求得OM的長(zhǎng)即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）過(guò)A分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為E、F，可證明△AEC≌△AFD，可得到EC=FD，從而可把OC-OD轉(zhuǎn)化為FD-OD，再利用線段的和差可求得OC-OD=OE+OF=8；

解答 解：
（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0）．
∵點(diǎn)A（-4，4），點(diǎn)B（0，2）在直線AB上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）∵△ABM是以AB為直角邊的直角三角形，
∴有∠BAM=90°或∠ABM=90°，
①當(dāng)∠BAM=90°時(shí)，如圖1，

過(guò)A作AB的垂線，交x軸于點(diǎn)M₁，交y軸于點(diǎn)M₂，
則可知△AEM₁∽△BEA，
∴$\frac{{M}_{1}E}{AE}$=$\frac{AE}{BE}$，
由（1）可知OE=OB=AE=4，
∴$\frac{{M}_{1}E}{4}$=$\frac{4}{8}$，解得M₁E=2，
∴OM₁=2+4=6，
∴M₁（-6，0），
∵AE∥y軸，
∴$\frac{{M}_{1}E}{{M}_{1}O}$=$\frac{AE}{O{M}_{2}}$，即$\frac{2}{6}$=$\frac{4}{O{M}_{2}}$，解得OM₂=12，
∴M₂（0，12）；
②當(dāng)∠ABM=90°時(shí)，如圖2，
過(guò)B作AB的垂線，交y軸于點(diǎn)M₃，

設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)E，則由（1）可知E（0，2），
∴OE=2，OB=4，
由題意可知△BOE∽△M₃OB，
∴$\frac{OE}{OB}$=$\frac{OB}{O{M}_{3}}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{4}{O{M}_{3}}$，解得OM₃=8，
∴M₃（0，-8），
綜上可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-6，0）或（0，12）或（0，-8）；
（3）不變．
理由如下：
過(guò)點(diǎn)A分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為G、H，如圖3．

則∠AGC=∠AHD=90°，
又∵∠HOC=90°，
∴∠GAH=90°，
∴∠DAG+∠DAH=90°，
∵∠CAD=90°，
∴∠DAG+∠CAG=90°，
∴∠CAG=∠DAH．
∵A（-4，4），
∴OG=AH=AG=OH=4．
在△AGC和△AHD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGC=∠AHD}\\{AG=AH}\\{∠CAG=∠DAH}\end{array}\right.$
∴△AGC≌△AHD（ASA），
∴GC=HD．
∴OC-OD=（OG+GC）-（HD-OH）=OG+OH=8．
故OC-OD的值不發(fā)生變化，值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)及分類討論思想等．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中確定出M點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．