Question

6．二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖，請結合圖象，解答下列問題：
（1）直接寫出方程ax²+bx+c=0的根；
（2）直接寫出不等式ax²+bx+c＜0的解集；
（3）請用三種不同的方法求出此函數的解析式．在本題條件下，你最喜歡哪一種？為什么？請簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）方程的解就是函數與x軸的交點的橫坐標；
（2）不等式ax²+bx+c＜0的解集，就是函數在x軸下方部分自變量x的取值范圍；
（3）利用待定系數法求解．設出二次函數的三種一般形式求解．

解答 解：（1）方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3；
（2）出不等式ax²+bx+c＜0的解集是x＜-1或x＞3；
（3）方法一：二次函數的對稱軸是x=$\frac{-1+3}{2}$=1，
設二次函數的解析式是y=a（x-1）²+4，
把（-1，0）代入得4a+4=0，
解得a=-1，
則函數的解析式是y=-（x-1）²+4；
方法二：二次函數的頂點坐標是（1，4）．
設二次函數的解析式是y=a（x+1）（x-3），
把（1，4）代入得-4a=4，
解得x=-1，
則函數的解析式是y=-（x+1）（x-3）；
方法三：二次函數的頂點坐標是（1，4）．
設函數的解析式是y=ax²+bx+c，
則$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{a+b+c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
則函數的解析式是y=-x²+2x+3．
在本題中我喜歡的是第一種，在已知頂點的情況下，利用頂點式求解較簡單．

點評 本題考查了二次函數圖象與函數與x軸的交點之間的關系，以及待定系數法，正確設函數的解析式是關鍵．