Question

18．在△ABC中，∠BAC=90°，射線AM∥BC，點D在射線AM上（不與點A重合），連接BD，過點D作BD的垂線交CA的延長線于點P
（1）如圖①，若∠C=30°，且AB=DB，求∠APD的度數；
（2）如圖②，若∠C=45°，當點D在射線AM上運動時，PD與BD之間有怎樣的數量關系？請寫出你的結論，并加以證明；
（3）如圖③，在（2）的條件下，連接BP，設BP與射線AM的交點為Q，∠AQP=α，∠APD=β，當點D在射線AM上運動時，α與β之間有怎樣的數量關系？請寫出你的結論，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）如圖①中，首先證明△ABD是等邊三角形，推出∠ABD=60°，由∠PDB+∠PAB=180°，推出∠APD+∠ABD=180°，由此即可解決問題．
（2）如圖②中，結論：DP=DB．只要證明△DMP≌△DNB即可．
（3）結論：α+β=180°．只要證明∠1=∠3，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖①中，

∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵AM∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=60°，
∵BD=BA，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
∵∠PDB+∠PAB=180°，
∴∠APD+∠ABD=180°，
∴∠APD=120°．

（2）如圖②中，結論：DP=DB．
理由：作DM⊥CP于M，DN⊥AB于N．

∵∠BAC=90°，∠C=45°，
∴∠ABC=∠C=45°，
∵AM∥BC，
∴∠DAM=∠C=45°，∠DAN=∠ABC=45°，
∴AM平分∠BAP，
∵DM⊥CP于M，DN⊥AB于N，
∴DM=DN，
∵∠APD+∠DPM=180°，∠APD+∠DBN=180°，
∴∠DPM=∠DBN，
在△DMP和△DNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMP=∠DNB}\\{∠DPM=∠DBN}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMP≌△DNB，
∴DP=DB．

（3）結論：α+β=180°．
理由：如圖③中，

由（2）可知，∠DAP=∠DAB=45°，
∵∠PDB+∠BAP=180°，
∴A、B、D、P四點共圓，
∴∠DPQ=∠BAQ=45°，
∵∠1=∠2+∠DPB=∠2+45°，
∠3=∠2+∠DAP=∠2+45°，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠APD=180°，
∴∠1+∠APD=180°，
即α+β=180．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、四點共圓等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形，題目有點難，用了四點共圓，證明角相等，屬于中考壓軸題．