Question

13．如圖，直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊△AOB，點C為x正半軸上一動點（OC＞1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，直線DA交y軸于點E．
（1）△OBC與△ABD全等嗎？判斷并證明你的結(jié)論；
（2）P是y軸上一動點，若△PAB的面積為2，求P點的坐標(biāo)；
（3）隨著點C位置的變化，點E的位置是否發(fā)生變化？若沒有變化，求出點E的坐標(biāo)，若有變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）判斷△OBC與△ABD全等，由等邊△AOB和等邊△CBD得到全等條件；
（2）設(shè)P（0，m），延長AB交y軸于F，在Rt△OAF中，由OA=1，∠AFO=30°，推出OF=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，根據(jù)S_△PAB=S_△PAF-S_△PBF，可得2=$\frac{1}{2}$（m+$\sqrt{3}$）•1-$\frac{1}{2}$（m+$\sqrt{3}$）•$\frac{1}{2}$，解方程求出m，即可解決問題．
（3）根據(jù)（1）容易得到∠OAE=60°，然后在中根據(jù)直角三角形30°，所對的直角邊等于斜邊的一半可以得到AE=2，從而得到E的坐標(biāo)是固定的．

解答 解：（1）△OBC≌△ABD，
理由：∵△AOB是等邊三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
又∵△CBD是等邊三角形
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=AB}\\{∠OBC=∠ABD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ABD（SAS）．

（2）設(shè)P（0，m），延長AB交y軸于F，
在Rt△OAF中，∵OA=1，∠AFO=30°，
∴OF=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，
∵S_△PAB=S_△PAF-S_△PBF，
∴2=$\frac{1}{2}$（m+$\sqrt{3}$）•1-$\frac{1}{2}$（m+$\sqrt{3}$）•$\frac{1}{2}$，
∴m=8-$\sqrt{3}$，
∴點P坐標(biāo)為（0，8-$\sqrt{3}$），
根據(jù)對稱性，P關(guān)于點F的對稱點P′也滿足條件，P′（0，-8-$\sqrt{3}$），
綜上所述，滿足條件的點P坐標(biāo)為（0，8-$\sqrt{3}$）或（0，-8-$\sqrt{3}$）．

（3）∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，
∵∠OAE=60°，
∴∠AEO=30°，
∴AE=2OA=2，
∴OE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{1}}$=$\sqrt{3}$，
∴點E的位置不會發(fā)生變化，E的坐標(biāo)為E（0，$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，學(xué)會利用分割法求三角形面積，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．