Question

8．如圖，在平面直角坐標系中，△OA₀A₁，△OA₁A₂，△OA₂A₃，△OA₃A₄…都是等腰直角三角形，點A₀（1，0），A₁（1，1），A₂（0，2），A₃（-2，2），A₄（-4，0），…，則依圖中所示規律，A₂₀₁₅的坐標為（2¹⁰⁰⁷，2¹⁰⁰⁷）．

Answer 1

分析 根據等腰直角三角形的性質得到OA₁=$\sqrt{2}$，OA₂=（$\sqrt{2}$）²，…，OA₂₀₁₅=（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵，再利用A₀、A₁、A₂、…，每8個一循環，再回到x的正半軸的特點可得到點A₂₀₁₅在第三象限，再利用等腰直角三角形的性質得到點A₂₀₁₅到x軸和y軸的距離相等，都等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵=2²⁰¹⁴，最后根據各象限點的坐標特點即可確定點A₂₀₁₅的坐標．

解答 解：∵∠OA₀A₁=90°，OA₀=A₀A₁=1，以OA₁為直角邊作等腰Rt△OA₁A₂，再以OA₂為直角邊作等腰Rt△OA₂A₃，…，
∴OA₁=$\sqrt{2}$，OA₂=（$\sqrt{2}$）²，…，OA₂₀₁₅=（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵，
∵A₀、A₁、A₂、…，每8個一循環，再回到x的正半軸，
而2015+1=252，
∴點A₂₀₁₅在第一象限，
∴點A₂₀₁₅到x軸和y軸的距離相等，都等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵=2¹⁰⁰⁷，
故答案為（2¹⁰⁰⁷，2¹⁰⁰⁷）．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質：等腰直角三角形的兩底角都等于45°；斜邊等于直角邊的$\sqrt{2}$倍．也考查了直角坐標系中各象限的坐標特點以及點的位置的變化規律的探究．