Question

11．鄂州市化工材料經銷公司購進一種化工材料若干千克，價格為每千克30元，物價部門規定其銷售單價不高于每千克60元，不低于每千克30元．經市場調查發現，日銷售量y（千克）是銷售單價x（元）的一次函數，且當x=60時，y=80；x=50時，y=100．在銷售過程中，每天還要支付其他費用450元．
（1）求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）求該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；
（3）當銷售單價為多少元時，該公司日獲利最大？最大利潤是多少元？

Answer 1

分析 （1）根據題意可以得到y與x的函數關系式并寫出x的取值范圍；
（2）根據題意可以得到w與x的函數關系式；
（3）根據（2）中的關系可以得到w的最值，注意x的取值范圍．

解答 解：（1）設y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{60k+b=80}\\{50k+b=100}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=200}\end{array}\right.$，
即y與x的函數關系式是y=-2x+200（30≤x≤60）；
（2）由題意可得，
w=（x-30）（-2x+200）-450=-2x²+260x-6450，
即該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式是w=-20x²+800x-6000；
（3）w=-2x²+260x-6450=-2（x-65）²+2000，
∵30≤x≤60，
∴當x=60時，w取得最大值，此時w=1950，
即當銷售單價為60元時，該公司日獲利最大，最大利潤是1950元．

點評 本題考查二次函數的應用、一元二次方程的應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．