Question

3．閱讀下面材料，回答問題：
距離能夠產生美．
唐代著名文學家韓愈曾賦詩：“天街小雨潤如酥，草色遙看近卻無．”
當代印度著名詩人泰戈爾在《世界上最遙遠的距離》中寫道：
“世界上最遙遠的距離
不是瞬間便無處尋覓
而是尚未相遇
便注定無法相聚”
距離是數學、天文學、物理學中的熱門話題，唯有對宇宙距離進行測量，人類才能掌握世界尺度．
已知點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB．
（1）當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1，AB=OB=|b|=|a-b|．
（2）當A、B兩點都不在原點時，
①如圖2，點A、B都在原點的右邊，AB=OB-OA=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
②如圖3，點A、B都在原點的左邊，AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-（-a）=a-b=|a-b|；
③如圖4，點A、B在原點的兩邊，AB=OA+OB=|a|+|b|=a+（-b）=a-b=|a-b|．
綜上，數軸上A、B兩點的距離|AB|=|a-b|．
利用上述結論，回答以下三個問題：
（1）若數軸上表示x和-2的兩點之間的距離是4，則x=-6或2；
（2）若代數式|x+1|+|x-2|取最小值時，則x的取值范圍是-1≤x≤2；
（3）若未知數x、y滿足（|x-1|+|x-3|）（|y-2|+|y+1|）=6，則代數式x+2y的最大值是7，最小值是-1．

Answer 1

分析 （1）把問題轉化為絕對值方程，即可解決問題．
（2）若代數式|x+1|+|x-2|取最小值時，表示在數軸上找一點x，到-1和2的距離之和最小，顯然這個點x在-1和2之間（包括-1，2），由此即可解決問題．
（3））因為（|x-1|+|x-3|）（|y-2|+|y+1|）=6，又因為|x-1|+|x-3|的最小值為2，|y-2|+|y+1|的最小值為3，所以1≤x≤3，-1≤y≤2，由此不難得到答案．

解答 解：（1）若數軸上表示x和-2的兩點之間的距離是4，
則|x+2|=4，
解得x=-2-4=-6或x=-2+4=2．
故答案為-6或2．
故答案為-1≤x≤2．

（2）若代數式|x+1|+|x-2|取最小值時，表示在數軸上找一點x，到-1和2的距離之和最小，顯然這個點x在-1和2之間（包括-1，2），
∴x的取值范圍是-1≤x≤2，
故答案為-1≤x≤2．

（3）∵（|x-1|+|x-3|）（|y-2|+|y+1|）=6，
又∵|x-1|+|x-3|的最小值為2，|y-2|+|y+1|的最小值為3，
∴1≤x≤3，-1≤y≤2，
∴代數式x+2y的最大值是7，最小值是-1．
故答案為7，-1．

點評 本題考查數軸、絕對值等知識，解題的關鍵是理解絕對值的幾何意義，學會用軸的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．