Question

20．已知點P在等邊△ABC內，接PA，PB，PC．
（1）如圖1，當P是等邊△ABC的重心時，則以線段PA，PB，PC為三邊的三角形的形狀是等邊三角形；
（2）如圖2，如果P是等邊△ABC內任意一點，那么以線段PA，PB，PC為邊一定能夠構成一個三角形嗎？請證明你的結論；
（3）如圖3，若PA=PB=4，∠APC=105°，求線段PC的長．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形三線合一的性質得：P也是△ABC的外心和內心，則PA=PB=PC，以線段PA，PB，PC為三邊的三角形的形狀是等邊三角形；
（2）將△APB繞A逆時針旋轉60°得到△AMC，連接PM，證明△PCM的三邊分別等于PA、PB、PC，由此可以得結論；
（3）如圖3，同理作輔助線，得PM=AP=4，MC=PB=4，并證明△PMC是等腰直角三角形，利用勾股定理求PC的長．

解答 解：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，且P是重心，
∴P也是△ABC的外心和內心，
∴PA=PB=PC，
∴以線段PA，PB，PC為三邊的三角形的形狀是等邊三角形；
故答案為：等邊三角形；
（2）以線段PA，PB，PC為邊能夠構成一個三角形，理由是：
如圖2，∵△ABC是等邊三角形，
∴將△APB繞A逆時針旋轉60°得到△AMC，連接PM，
由旋轉得：△APB≌△AMC，∠PAM=60°，
∴AP=AM，PB=CM，
∴△APM也是等邊三角形，
∴PM=PA，
∴△PCM的三邊分別為PA、PB、PC，
∴以線段PA，PB，PC為邊能夠構成一個三角形；
（3）如圖3，∵△ABC是等邊三角形，
∴將△APB繞A逆時針旋轉60°得到△AMC，連接PM，
同理得：PM=AP=4，MC=PB=4，
∵△APM是等邊三角形，
∴∠APM=60°，
∵∠APC=105°，
∴∠CPM=45°，
∵PM=CM=4，
∴∠CPM=∠PCM=45°，
∴∠PMC=90°，
由勾股定理得：PC=$\sqrt{P{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

點評 本題是三角形的綜合題，考查了圖形的旋轉變換問題、全等三角形的性質和判定、等邊三角形的性質，本題要利用圖形旋轉作輔助線，構建兩個全等三角形是關鍵；這種輔助線的作法不經常用，要注意運用并掌握．