Question

8．如圖，拋物線y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知點A的坐標為（-1，0），點C的坐標為（0，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法轉化為解方程組即可．
（2）如圖1中，分兩種情形討論①當CP=CD時，②當DP=DC時，分別求出點P坐標即可．
（3）如圖2中，作CM⊥EF于M，設E（a，-$\frac{1}{2}a$+2），F（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），則EF=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-（-$\frac{1}{2}a$+2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a，（0≤a≤4），根據S_{四邊形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$•BD•OC+$\frac{1}{2}$•EF•CM+$\frac{1}{2}$•EF•BN，構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{3}{2}+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴二次函數的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

（2）存在．如圖1中，

∵C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，0），
∴CD=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
當CP=CD時，P₁（$\frac{3}{2}$，4），
當DP=DC時，P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
綜上所述，滿足條件的點P坐標為（$\frac{3}{2}$，4）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

（3）如圖2中，作CM⊥EF于M，

∵B（4，0），C（0，2），
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}x+2$，設E（a，-$\frac{1}{2}a$+2），F（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），
∴EF=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-（-$\frac{1}{2}a$+2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a，（0≤a≤4），
∵S_{四邊形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$•BD•OC+$\frac{1}{2}$•EF•CM+$\frac{1}{2}$•EF•BN
=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{2}$a²+2a）+$\frac{1}{2}$（4-a）（-$\frac{1}{2}$a²+2a）
=-a²+4a+$\frac{5}{2}$
=-（a-2）²+$\frac{13}{2}$，
∴a=2時，四邊形CDBF的面積最大，最大值為$\frac{13}{2}$，
∴E（2，1）．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、待定系數法，四邊形的面積等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會構建二次函數解決最值問題，屬于中考壓軸題．