Question

8．如圖，點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD邊AD上，連接PB．過(guò)點(diǎn)B作一條射線與邊DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是邊AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，連接PQ．若PQ²=PB²+PD²+1，則△PAB的面積為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 先由∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°易得△PAB與△QCB均為直角三角形，再證得△PAB≌△QCB，可得QC=PA，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)AB=a，PA=x，利用方程思想和勾股定理可得ax的值，據(jù)此可得△PAB的面積．

解答 解：∵∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°，
∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=90°，
∵∠PBC+∠PBA=90°，
∴∠PBA=∠QBC，
在Rt△PAB和Rt△QCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠QCB}\\{AB=CB}\\{∠PBA=∠QBC}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△QCB（ASA），
∴QC=PA，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)AB=a，PA=x，則QC=x，
∴DQ=DC+QC=a+x，PD=AD-PA=a-x，
在Rt△PAB中，PB²=PA²+AB²=x²+a²，
∵PQ²=PB²+PD²+1，
∴（a-x）²+（a+x）²=x²+a²+（a-x）²+1，
解得：2ax=1，
∴ax=$\frac{1}{2}$，
∵△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$PA•PB=$\frac{1}{2}$ax=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，利用方程思想和勾股定理得出AB•PA是解答此題的關(guān)鍵．